いくら賭けるか

有利な賭けを見つけた。次の問題は「いくら賭けるか」。ここで多くが破産する。

投資の話は「何を買うか」に集中しがちだが、 資産の行き先を決めるのは、何を買うかより、いくら賭けるかのほうであることが多い。 同じ銘柄を同じ日に買っても、資金の5%を入れた人と80%を入れた人では 結果が別物になる。しかも後者は、有利な賭けでも破産しうる。

この章ではその賭け額を決める理屈を導く。 なおここで扱うのは配分の理論であって、勝てる方法ではない。 前提となる勝率や期待リターンは、自分で推定するしかない。 そしてその推定は、たいてい間違っている。

期待値が最大になる賭け方は、ほぼ確実に破産する賭け方でもある。 繰り返して再投資するなら、最大化すべきは期待資金ではなく資産の対数 E[log(1+f·x)]

期待値を最大にすると破産する

有利な賭けがあるとする。 60%の確率で賭け金が2倍、40%で全額失う。 期待値は 0.6×2 = 1.2 で、1回ごとに20%増える計算になる。

期待値だけを見るなら、答えは明快だ。全額賭ければいい。

  1. 資金の割合 f を賭けると、期待資金は 1 + 0.2f 倍になる
  2. f について単調増加なので、f = 1（全額）が最大
  3. ところが f = 1 で賭け続けると、 1回でも負けた瞬間に資金がゼロになる
  4. ゼロになったら復帰できない。以後どんな有利な賭けが来ても参加できない
  5. n 回続けて生き残る確率は 0.6ⁿ。 10回で 0.6%、20回で 0.004%。 ほぼ確実に破産する
よくある誤解 期待値がプラスの賭けなら、大きく張るほど有利
実際 期待値が最大になる賭け方は、ほぼ確実に破産する賭け方でもある。平均を押し上げているのは、起こらない少数の枝

矛盾しているように見えるが、していない。 期待資金は本当に増えている。増やしているのが、 「20回全勝する 0.004% の枝」だからだ。 その枝では資金が220 = 100万倍になっているので、平均は確かに上がる。 だが自分がその枝にいる確率は無視できるほど小さい。

前章で見たものと同じ構造が出ている。平均と中央値がずれている。 平均を最大化するのは、中央値を最大化することではない。

繰り返す賭けでは log を最大化する

では何を最大化すべきか。答えは資産の対数の期待値。 理由は前章の展開そのままで、資産が掛け算で増えるからだ。

  1. n 回の賭けの後の資金は W = W₀ × (1+f·x₁)(1+f·x₂)…(1+f·xₙ)。掛け算
  2. 対数を取ると log(W/W₀) = Σ log(1+f·xᵢ)。足し算になる
  3. 大数の法則は足し算に対して働くので、 n が大きいと (1/n)Σ log(1+f·xᵢ) → E[log(1+f·x)] に収束する
  4. つまり W ≈ W₀ · exp(n · E[log(1+f·x)])
  5. n が大きいとき資金を決めるのは E[log(1+f·x)] ただ1つ。 これを最大にする f が答え
長期の成長率 g(f) = E[ log(1 + f·x) ]

大事なのは、これが「対数効用を持つ人だけの話」ではない点。 リスク選好の問題ではなく、 「同じ賭けを繰り返して資金を再投資する」という構造から出てくる。 1回きりの賭けなら期待値の最大化が正しいこともある。 繰り返して複利で回すなら、logが決める。

ケリー基準を導く

勝率 p で賭け金の b 倍が得られ、 負ける確率 q = 1−p で賭け金を失う賭けを考える。 資金の割合 f を賭ける。

  1. 勝てば資金は 1 + bf 倍、負ければ 1 − f 倍
  2. 成長率は g(f) = p·log(1 + bf) + q·log(1 − f)
  3. f で微分： g'(f) = pb/(1 + bf) − q/(1 − f)
  4. ゼロと置く： pb(1 − f) = q(1 + bf)
  5. 展開： pb − pbf = q + qbf
  6. f でまとめる： pb − q = bf(p + q) = bf（p+q=1 なので）
  7. 割って f* = (pb − q)/b
ケリー基準（離散の賭け） f* = (bp − q) / b
これが最大値であることの確認と、意味の読み方

2階微分は g''(f) = −pb²/(1+bf)² − q/(1−f)²。 p, q, b がすべて正なので常に負。 つまり g(f) は上に凸で、極値は必ず最大値になる。 ケリー点は唯一で、山は1つだけ。

読み方は2通りある。

  1. f* = (bp − q)/b の分子 bp − q は 1単位賭けたときの期待利益そのもの。 分母の b はオッズ。つまり f* = 期待利益 ÷ オッズ = エッジ ÷ オッズ
  2. bp − q ≤ 0（期待値がプラスでない）なら f* ≤ 0。賭けないのが最適。 式が自動的にそう言う

エッジが同じでもオッズが大きい（低確率・高配当）ほど f* は小さくなる。 「たまにしか当たらないが当たれば大きい」賭けには、 期待値が同じでも小さく張るのが正しい。

冒頭の賭けに当てはめる

60%で2倍（＝賭け金と同額を得るので b=1）、40%で全額失う。

f* = (1×0.6 − 0.4)/1 = 0.20。 資金の20%が最適。

このとき成長率は 0.6·log(1.2) + 0.4·log(0.8) = 0.6(0.1823) + 0.4(−0.2231) = 0.0201。 1回あたり約2.0%。全額賭けたときの「期待20%」とは大違いだが、 こちらは実際に手に入る。

連続版：f* = μ/σ²

株のように「勝ち負け」ではなく連続的にリターンが分布する場合。 前章のテイラー展開がそのまま使える。

  1. 資産の超過リターンを x（平均 μ、分散 σ²）とする。 割合 f を投じたときの成長率は g(f) = E[log(1 + f·x)]
  2. log(1+u) ≈ u − u²/2 で展開（u = f·x が小さいとする）
  3. g(f) ≈ E[f·x] − E[(f·x)²]/2 = fμ − f²(σ² + μ²)/2
  4. μ² は σ² に比べて小さいので落とす： g(f) ≈ fμ − f²σ²/2
  5. これは f の下に凸な2次関数（上に凸な放物線）。 微分して μ − fσ² = 0
ケリー基準（連続） f* = μ / σ²   （μ は無リスク金利を超えた分）

この式は前章と綺麗に繋がっている。μ/σ はシャープ・レシオなので、 f* = SR/σ とも書ける。 シャープ・レシオが高いほど大きく張ってよく、σが高いほど張ってはいけない。

株式市場に当てはめると

株式のリスクプレミアムを μ=5%、σ=18% とすると f* = 0.05/0.0324 = 1.54。

ケリーは「1.5倍のレバレッジをかけろ」と言う。 これを額面通り受け取る人はほとんどいない。理由は次節。

賭けすぎるとどうなるか

成長率の式 g(f) ≈ fμ − f²σ²/2 は放物線なので、 ケリー点を頂点として左右対称に落ちていく。 落ち方には決定的な非対称がある。

  1. g(f) = fμ − f²σ²/2 にゼロ点を求める： f(μ − fσ²/2) = 0
  2. 解は f = 0 と f = 2μ/σ² = 2f*
  3. つまりケリーの2倍を賭けると、成長率がゼロになる
  4. それを超えると g(f) < 0。 期待値がプラスの賭けに勝ち続けても、資金が減っていく
成長率がゼロになる賭け額（2次近似） f = 2f*

この 2f* は2次近似の上での話で、正確な値ではない。 離散の式 g(f) = p·log(1+bf) + q·log(1−f) で解くと、 ゼロ交差は 2f* よりわずかに手前に来る。 近似の誤差は安全側ではなく危険側に外れるので、 「2倍までは大丈夫」と読まないほうがいい。

ここが本章で最も実用的な結論。 ケリーの2倍あたりで成長率がゼロを切り、その先はマイナス。 しかも f* の推定には μ と σ が要り、 μ の推定誤差は大きい。μ を2倍に見誤れば f* も2倍になり、そのまま賭ければ成長率ゼロの地点に立つ。

非対称であることを見る

賭け額成長率（ケリー時を100とすると）
0.25 f*44
0.5 f*（ハーフ・ケリー）75
0.75 f*94
1.0 f*（ケリー）100
1.25 f*94
1.5 f*75
2.0 f*0
2.5 f*−56

放物線なので、成長率そのものは f* の左右で対称に見える。 だが実務上の非対称は別のところにある。

だからハーフ・ケリー

半分にすると何が変わるか

g(0.5f*) = 0.5f*·μ − (0.5f*)²σ²/2。 f* = μ/σ² を代入すると g = 0.5μ²/σ² − 0.125μ²/σ² = 0.375μ²/σ²。 フル・ケリーは 0.5μ²/σ² なので比は 75%。

成長率は25%しか落ちないのに、σは半分になる。 変動が半分ならドローダウンも大幅に浅くなり、 推定誤差に対する余裕も2倍になる（誤って f* を2倍に見誤っても、まだフル・ケリー止まり）。

実務でハーフ・ケリー以下が使われるのは、この交換比率がよいから。 「成長率の25%」という値札で、 変動・ドローダウン・推定誤差への耐性をまとめて買っている。

動かして確かめる

賭け額と成長率

55%
1.00
10%
ケリー f* —
1回あたりの成長率 —
f* に対する倍率 —
200回後の中央値（100万円が） —

賭ける割合 f と1回あたりの成長率。頂点がケリー点。 f* の2倍でゼロを切り、その先は有利な賭けなのに資金が減る領域。 点線が現在の f の位置。

同じ賭けを200回、賭け額だけ変えて実際に回した資金曲線（対数目盛）。 濃い線＝ケリー、中間＝ハーフ・ケリー、薄い線＝2倍ケリー。 同じ勝ち負けの列を全員に使っているので、差は賭け額だけから出ている。 押すたびに乱数を引き直す。

破産確率と、ゼロに触ってはいけない理由

ケリーが f < 1 を選ぶ限り、1回で資金がゼロになることはない。 だがこれは「賭け金を失うだけ」という前提に立っている。 現実の投資には、この前提が成り立たない場面がある。

ケリーでの一時的な下落確率（近似） P( 資産が x 倍まで下がる ) ≈ x

フル・ケリーで運用すると、途中で資産が半分になる確率は約50%、 1/3になる確率は約33%。成長率が最大の運用は、同時にかなり荒い運用。

よくある誤解 いい銘柄を安く買えたかどうかが、結果を決める
実際 買値が5%違っても資産は5%しか変わらない。賭け額が5%と50%では、同じ−40%が−2%と−20%になる。効き方の桁が違う

実際に使うときに残る問題

ここまでの理屈は数学として正しい。だが実務にそのまま持ち込めない理由がいくつかある。 正直に並べておく。

これらを踏まえると、ケリーの正しい使い方は 「賭け額を決める公式」ではなく「上限を教える定規」に近い。 f* を計算して、そこから大きく離れた張り方をしていないか確認する。 特に 2f* を超えていないかは、 推定がどれだけ怪しくても確認する価値がある。

確認

期待値がプラスの賭けを、資金の割合を一定にして無限に繰り返す。 賭ける割合をケリーの2.5倍にした場合、長期的に資金はどうなるか。

ここが直感に反するところで、 各回の賭けの期待値はプラスのままである。 期待資金 E[W] も増え続ける。 それでも典型的な結果はゼロになる。増えているのは、 ほぼ起こらない連勝の枝だけ。 「期待値がプラスなら賭けてよい」は、賭け額を決めていない。

勝率 p=0.55、勝てば賭け金と同額（b=1）、負ければ賭け金を失う。 ケリー基準はいくらか。

注目すべきは数字の小ささ。 勝率55%は、相場では極めて良い部類に入る。それでも最適な賭け額は10%で、 ハーフ・ケリーなら5%。ほとんどの人はこれより大きく張っている。 そして p の推定が実は0.52だったなら、正解は4%。 勝率3ポイントの見誤りが、賭け額を2.5倍間違えさせる。

A：1回で資産の2%を賭ける勝負を100回。 B：1回で資産の40%を賭ける勝負を5回。 どちらも1回ごとの期待値は同じでプラス。長期の資産形成として適切なのは？

さらに B は1回の賭けが大きい。 40%を賭けて負ければ資産は0.6倍になり、 取り返すには d/(1−d)（前章）で+67%が要る。 2回連続で負ければ0.36倍、必要な回復は+178%。 大きく賭けると、大数の法則が働く前に脱落する。

ただし A が無条件に良いわけでもない。 100回の取引には手数料と税金が100回分かかり、 期待値がそのコストを上回っていなければ意味がない。 回数を増やすには、1回あたりのエッジがコストより大きいことが要る。

この章のまとめ